zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl aramix.keep.pl « M E N U » » » Ktoś, kto mówi, że nie zna się na sztuce, źle zna samego siebie. » Allegri-Renzo---Cuda-ojca-Pio, KSIĄŻKI(,,audio,mobi,rtf,djvu), Nowy folder, [TORRENTCITY.PL] Allegri Renzo - Cuda ojca Pio [PL] [][] » Alistair MacLean - Athabaska, książki e, Alistair MacLean » Alchemy, Ksiazki, ALCHEMIA » Aldiss Brian W. - Na zewnątrz, KSIĄŻKI, E-book, Aldiss Brian » Altman John - Obserwatorzy, E Książki także, Altman, John » Alistair MacLean - Na poludnie od Jawy, książki e, Alistair MacLean » Alistair Maclean - Tabor do Vaccares, książki e, Alistair MacLean » Alex Kava - Zło konieczne, E Książki także, Alex Kava » Aldiss Brian W. - Nieobliczalna gwiazda, KSIĄŻKI, E-book, Aldiss Brian » Alex Kava - W ułamku sekundy, E Książki także, Alex Kava [ Pobierz całość w formacie PDF ] Część 2 13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY 1 13.  13. DRGANIA HARMONICZNE UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY 13.1. Drgania własne nietłumione W analizie drgań rozpatrywać będziemy układy, w których masa rozłożona jest w sposób dyskretny. Układ ciągły modelujemy w sposób określony jako granulacja (podział) masy całego układu do pewnej liczby punktów masowych (rys. 13.1). P (t) r P (t) r+1 m r-1 m r m r+1 w r (t) Rys. 13.1. Układ o dyskretnym rozkładzie masy Przemieszczenie układu (wychylenie od położenia równowagi) opisywać będziemy poprzez przemieszczenia punktów masowych. q r  t = w r  t  (13.1) Dominującą częścią w przypadku ugięć są przemieszczenia pionowe, dlatego też pominiemy w naszych rozważaniach przesunięcia poziome (wzdłuż osi pręta). Jeżeli działają siły zmienne w czasie układ będzie quasistatyczny. Siły P r ( t ) reprezentują dynamiczne oddziaływanie sił bezwładności oraz zewnętrzne obciążenia dynamiczne. Dowolne przemieszczenie, zgodnie z zasadą superpozycji skutków wynosi: R w r  t = ∑ j = 1 P j  t ⋅ rj (13.2) gdzie: δ rj - przemieszczenie pionowe w punkcie r wywołane siła jedynkową działającą w punkcie j , P j ( t ) - siła dynamiczna działająca w punkcie j. Dla przypadku drgań własnych obciążenie dynamiczne ogranicza się do sił bezwładności: P j  t =− m j ⋅ ¨ w j  t  (13.3) Można zatem zapisać, że przemieszczenie pierwszej masy jest równe: Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater P(t) r-1 Część 2 13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY 2 w 1  t =− m 1 ⋅ ¨ w 1  t ⋅ 11 − m 2 ⋅ ¨ w 2  t ⋅ 12 − m 1 ⋅ ¨ w 1  t ⋅ 13 − ... − m R ⋅ ¨ w R  t  1 R Wektor przemieszczeń wszystkich punktów możemy przedstawić w zapisie macierzowym: { w }=−[ F ]⋅[ M ]{ ¨ w } (13.4) gdzie: [ F ] - macierz podatności, [ M ] - diagonalna macierz mas. Wymiar macierzy zależy od stopnia swobody dynamicznej układu, czyli liczby niezależnych przemieszczeń punktów masowych. [ w 1  t  w 2  t  w 3  t  ... ] =− 1  [  11  12  13 ...  21  22  23 ...  31  32  33 ... ... ... ... ... ] ⋅ [ m 1 0 0 ... 0 m 2 0 ... 0 0 m 3 ... ... ... ... ... ] ⋅ [ ¨ w 1  t  ¨ w 2  t  ¨ w 3  t  ... ] (13.5) Układ równań różniczkowych (13.5) ma rozwiązanie ogólne postaci: w r  t = W r ⋅ e − i  t gdzie W r jest amplitudą przemieszczenia węzła r . A zatem przechodząc do rozwiązań rzeczywistych, po odrzuceniu części urojonej można zapisać: w r  t = W r ⋅ sin  t (13.6) Druga pochodna po czasie z funkcji przemieszczenia wynosi: ¨ w r  t =− 2 W r ⋅ sin  t (13.7) Po przekształceniu równania macierzowego (13.4) [ F ]⋅[ M ]{ ¨ w }{ w }={ 0 } (13.8) podstawieniu zależności (13.6) i (13.7) i podzieleniu równań obustronnie przez sin ωt otrzymujemy: − 2 [ F ]⋅[ M ]{ W }{ W }= { 0 } (13.9) Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY 3 Ostatecznie po przekształceniach dochodzimy do układu równań: { [ F ]⋅[ M ]− 1  2 [ I ] } { W }= { 0 } (13.10) gdzie { W } - wektor amplitud przemieszczeń, [ I ] - macierz jedynkowa, [ I ]= [ 1 0 0 ... 0 1 0 ... 0 0 1 ... ... ... ... ... ] Układ równań jednorodnych (13.10) posiada rozwiązanie: • trywialne, gdy W r =0, • nietrywialne, wtedy gdy wyznacznik układu jest równy zero: det ∣ [ F ]⋅[ M ]− 1  2 [ I ] ∣ = 0 (13.11) Z warunku (13.11) otrzymujemy równanie charakterystyczne, nazywane też wiekowym. Przyrównywanie wyznacznika układu równań do zera pozwala wyliczyć wartości ω r , częstości kołowe drgań własnych. Otrzymamy tyle wartości ω r , ile wynosił rząd macierzy. Każdej częstości kołowej drgań własnych odpowiada zestaw amplitud W r . Z układu równań jednorodnych nie można określić wartości amplitud, można ustalić tylko proporcje pomiędzy nimi. Obliczenia rozpoczyna się od przedstawienia konstrukcji w formie modelu masowego, dla którego określić trzeba niezależne przemieszczenia. Po obliczeniu współczynników δ ik z równania (13.11) wyznaczamy wszystkie częstości kołowe drgań własnych ω . Granulacja masy jest znakomitym sposobem, wykorzystującym podstawowe założenia i podejście metody sił, czyli zasadę superpozycji, oraz współczynniki podatności δ ik . Algorytm obliczeń przybliżymy rozwiązując następujący przykład. Rozpatrzmy układ jak na poniższym schemacie. EJ=const m m m l 6 l 3 l 3 l 6 l Rys. 13.2. Schemat belki wolnopodpartej o dyskretnym, symetrycznym rozkładzie masy Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater  Część 2 13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY 4 Taki układ ma trzy stopnie swobody dynamicznej, zatem posiada trzy częstości kołowe drgań własnych. Każda z mas może przemieszczać się prostopadle do osi belki. Wartości tych przemieszczeń, zgodnie ze wzorem (11.4) opisują zależności: w 1  t =− m ⋅ ¨ w 1  t ⋅ 11 − m ⋅ ¨ w 2  t ⋅ 12 − m ⋅ ¨ w 3  t ⋅ 13 w 2  t =− m ⋅ ¨ w 1  t ⋅ 21 − m ⋅ ¨ w 2  t ⋅ 22 − m ⋅ ¨ w 3  t ⋅ 23 w 3  t =− m ⋅ ¨ w 1  t ⋅ 31 − m ⋅ ¨ w 2  t ⋅ 32 − m ⋅ ¨ w 3  t ⋅ 33 Równania różniczkowe możemy wyliczyć przyjmując postać funkcji rozwiązującej w r  t = A r ⋅ sin  t dla której druga pochodna po czasie wynosi: ¨ w r  t =− 2 A r ⋅ sin  t Po podstawieniu i uproszczeniu (podzielenie przez sin ωt ) otrzymujemy równania A 1 = m ⋅ 2 ⋅ 11 ⋅ A 1  m ⋅ 2 ⋅ 12 ⋅ A 2  m ⋅ 2 ⋅ 13 ⋅ A 3 A 2 = m ⋅ 2 ⋅ 21 ⋅ A 1  m ⋅ 2 ⋅ 22 ⋅ A 2  m ⋅ 2 ⋅ 23 ⋅ A 3 A 3 = m ⋅ 2 ⋅ 31 ⋅ A 1  m ⋅ 2 ⋅ 32 ⋅ A 2  m ⋅ 2 ⋅ 33 ⋅ A 3 które po uporządkowaniu tworzą układ równań jednorodnych:  m ⋅ 2 ⋅ 11 − 1  ⋅ A 1  m ⋅ 2 ⋅ 12 ⋅ A 2  m ⋅ 2 ⋅ 13 ⋅ A 3 = 0 m ⋅ 2 ⋅ 21 ⋅ A 1   m ⋅ 2 ⋅ 22 − 1  ⋅ A 2  m ⋅ 2 ⋅ 23 ⋅ A 3 = 0 m ⋅ 2 ⋅ 31 ⋅ A 1  m ⋅ 2 ⋅ 32 ⋅ A 2   m ⋅ 2 ⋅ 33 − 1  ⋅ A 3 = 0 (13.12) Aby obliczyć współczynniki macierzy podatności δ ik , narysujmy wykresy momentów w stanach jedynkowych: P 1 =1 M 1 5 l 36 l 12 l 36 l 6 l 3 l 3 l 6 Rys. 13.3. Stan P 1 = 1 Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater Część 2 13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY 5 P 2 =1 M 2 l 12 l 4 l 12 l 6 l 3 l 3 l 6 Rys. 13.4. Stan P 2 = 1 P 3 =1 M 3 l 36 l 12 5 l 36 l 6 l 3 l 3 l 6 Rys. 13.5. Stan P 3 = 1 Współczynniki δ ik wyznaczamy mnożąc odpowiednie wykresy (rys. 13.3, 13.4, 13.5) EJ  11 = EJ  33 = 1 2 ⋅ l 6 ⋅ 5 l 36 ⋅ 2 3 ⋅ 5 l 36  1 2 ⋅ 5 l 6 ⋅ 5 l 36 ⋅ 2 3 ⋅ 5 l 36 = 150 ⋅ l 3 23328 = 25 ⋅ l 3 3888 EJ  22 = 2 ⋅ 1 2 ⋅ l 2 ⋅ l 4 ⋅ 2 3 ⋅ l 4 = l 3 48 = 81 ⋅ l 3 3888 EJ  12 = EJ  21 = EJ  23 = EJ  32 = 1 2 ⋅ l 6 ⋅ 5 l 36 ⋅ 2 3 ⋅ l 12  1 2 ⋅ l 3 ⋅ 5 l 36  3 ⋅ 12  3 ⋅ 4   2 ⋅ 3 ⋅ 12  3 ⋅ 4  3 ⋅ 12   2 ⋅ l 2 ⋅ l 12 ⋅ 2 3 ⋅ l 4 =  5 7776  25 7776  21 7776  27 7776  ⋅ l 3 = 39 ⋅ l 3 3888 EJ  13 = EJ  31 = 2 ⋅ 1 2 ⋅ l 6 ⋅ 5 l 36 ⋅ 2 3 ⋅ l 36  1 2 ⋅ 2 l 3 ⋅ 5 l 36  3 ⋅ 36  3 ⋅ 5 l 36   2 ⋅ 2 3 ⋅ 36  3 ⋅ 5 l 36  1 3 ⋅ l 36  = =  10 23328  70 23328  22 23328  ⋅ l 3 = 17 ⋅ l 3 3888 Jeżeli podstawimy do równań (13.12) otrzymane wartości, a następnie pomnóżmy obie strony równania przez 3888 EJ i podzielimy prze ml 3 ω 2 uzyskamy układ: [  25 −  39 17 39  81 −  39 17 39  25 −  ] ⋅ [ A 1 A 2 A 3 ] = { 0 } Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater  1 [ Pobierz całość w formacie PDF ] zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl hot-wife.htw.pl « S E A R C H » Cytat Dobry przykład - połowa kazania. Adalberg I ty, Brutusie, przeciwko mnie?! (Et tu, Brute, contra me?! ) Cezar (Caius Iulius Caesar, ok. 101 - 44 p. n. e) Do polowania na pchły i męża nie trzeba mieć karty myśliwskiej. Zygmunt Fijas W ciepłym klimacie najłatwiej wyrastają zimni dranie. Gdybym tylko wiedział, powinienem był zostać zegarmistrzem. - Albert Einstein (1879-1955) komentując swoją rolę w skonstruowaniu bomby atomowej

« C O P Y R I G H T   I N F O » © 2003 Ktoś, kto mówi, że nie zna się na sztuce, źle zna samego siebie.. Design by Templates For All.

Darmowy hosting zapewnia PRV.PL