ďťż  
logo.png
ban.jpg
Saturday, April 5th, 2025 
  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • aramix.keep.pl
    • « M E N U »

    »

    » Ktoś, kto mĂłwi, Ĺźe nie zna się na sztuce, Ĺşle zna samego siebie.
    » Allegri-Renzo---Cuda-ojca-Pio, KSIĄŻKI(,,audio,mobi,rtf,djvu), Nowy folder, [TORRENTCITY.PL] Allegri Renzo - Cuda ojca Pio [PL] [][]
    » Alistair MacLean - Athabaska, książki e, Alistair MacLean
    » Alchemy, Ksiazki, ALCHEMIA
    » Aldiss Brian W. - Na zewnątrz, KSIĄŻKI, E-book, Aldiss Brian
    » Altman John - Obserwatorzy, E Książki takĹźe, Altman, John
    » Alistair MacLean - Na poludnie od Jawy, książki e, Alistair MacLean
    » Alistair Maclean - Tabor do Vaccares, książki e, Alistair MacLean
    » Alex Kava - Zło konieczne, E Książki takĹźe, Alex Kava
    » Aldiss Brian W. - Nieobliczalna gwiazda, KSIĄŻKI, E-book, Aldiss Brian
    » Alex Kava - W ułamku sekundy, E Książki takĹźe, Alex Kava
    [ Pobierz całość w formacie PDF ]
    Część 2 13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY 1
    13.
    
    13. DRGANIA HARMONICZNE UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU
    STOPNIACH SWOBODY
    13.1. Drgania własne nietłumione
    W analizie drgań rozpatrywać będziemy układy, w których masa rozłożona jest w sposób dyskretny.
    Układ ciągły modelujemy w sposób określony jako granulacja (podział) masy całego układu do pewnej liczby
    punktĂłw masowych (rys. 13.1).
    P
    (t)
    r
    P
    (t)
    r+1
    m
    r-1
    m
    r
    m
    r+1
    w
    r
    (t)
    Rys. 13.1. Układ o dyskretnym rozkładzie masy
    Przemieszczenie układu (wychylenie od położenia równowagi) opisywać będziemy poprzez przemieszczenia
    punktĂłw masowych.
    q
    r
    
    t
    =
    w
    r
    
    t
    
    (13.1)
    Dominującą częścią w przypadku ugięć są przemieszczenia pionowe, dlatego też pominiemy w naszych
    rozważaniach przesunięcia poziome (wzdłuż osi pręta). Jeżeli działają siły zmienne w czasie układ będzie
    quasistatyczny. Siły
    P
    r
    (
    t
    ) reprezentują dynamiczne oddziaływanie sił bezwładności oraz zewnętrzne obciążenia
    dynamiczne.
    Dowolne przemieszczenie, zgodnie z zasadą superpozycji skutków wynosi:
    R
    w
    r
    
    t
    =
    ∑
    j
    =
    1
    P
    j
    
    t
    ⋅
    rj
    (13.2)
    gdzie:
    δ
    rj
    - przemieszczenie pionowe w punkcie
    r
    wywołane siła jedynkową działającą w punkcie
    j
    ,
    P
    j
    (
    t
    ) - siła dynamiczna działająca w punkcie
    j.
    Dla przypadku drgań własnych obciążenie dynamiczne ogranicza się do sił bezwładności:
    P
    j
    
    t
    =−
    m
    j
    ⋅
    ¨
    w
    j
    
    t
    
    (13.3)
    Można zatem zapisać, że przemieszczenie pierwszej masy jest równe:
    Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
    AlmaMater
    P(t)
    r-1
    Część 2 13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY 2
    w
    1
    
    t
    =−
    m
    1
    ⋅
    ¨
    w
    1
    
    t
    ⋅
    11
    −
    m
    2
    ⋅
    ¨
    w
    2
    
    t
    ⋅
    12
    −
    m
    1
    ⋅
    ¨
    w
    1
    
    t
    ⋅
    13
    −
    ...
    −
    m
    R
    ⋅
    ¨
    w
    R
    
    t
    
    1 R
    Wektor przemieszczeń wszystkich punktów możemy przedstawić w zapisie macierzowym:
    {
    w
    }=−[
    F
    ]⋅[
    M
    ]{
    ¨
    w
    }
    (13.4)
    gdzie:
    [
    F
    ] - macierz podatności,
    [
    M
    ] - diagonalna macierz mas.
    Wymiar macierzy zależy od stopnia swobody dynamicznej układu, czyli liczby niezależnych przemieszczeń
    punktĂłw masowych.
    [
    w
    1
    
    t
    
    w
    2
    
    t
    
    w
    3
    
    t
    
    ...
    ]
    =−
    1
    
    [
    
    11
    
    12
    
    13
    ...
    
    21
    
    22
    
    23
    ...
    
    31
    
    32
    
    33
    ...
    ... ... ... ...
    ]
    ⋅
    [
    m
    1
    0 0 ...
    0 m
    2
    0 ...
    0 0 m
    3
    ...
    ... ... ... ...
    ]
    ⋅
    [
    ¨
    w
    1
    
    t
    
    ¨
    w
    2
    
    t
    
    ¨
    w
    3
    
    t
    
    ...
    ]
    (13.5)
    Układ równań różniczkowych (13.5) ma rozwiązanie ogólne postaci:
    w
    r
    
    t
    =
    W
    r
    ⋅
    e
    −
    i
    
    t
    gdzie
    W
    r
    jest amplitudą przemieszczenia węzła
    r
    .
    A zatem przechodząc do rozwiązań rzeczywistych, po odrzuceniu części urojonej można zapisać:
    w
    r
    
    t
    =
    W
    r
    ⋅
    sin
    
    t
    (13.6)
    Druga pochodna po czasie z funkcji przemieszczenia wynosi:
    ¨
    w
    r
    
    t
    =−
    2
    W
    r
    ⋅
    sin
    
    t
    (13.7)
    Po przekształceniu równania macierzowego (13.4)
    [
    F
    ]⋅[
    M
    ]{
    ¨
    w
    }{
    w
    }={
    0
    }
    (13.8)
    podstawieniu zależności (13.6) i (13.7) i podzieleniu równań obustronnie przez
    sin
    ωt
    otrzymujemy:
    −
    2
    [
    F
    ]⋅[
    M
    ]{
    W
    }{
    W
    }=
    {
    0
    }
    (13.9)
    Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
    AlmaMater
    Część 2 13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY 3
    Ostatecznie po przekształceniach dochodzimy do układu równań:
    {
    [
    F
    ]⋅[
    M
    ]−
    1
    
    2
    [
    I
    ]
    }
    {
    W
    }=
    {
    0
    }
    (13.10)
    gdzie {
    W
    } - wektor amplitud przemieszczeń,
    [
    I
    ] - macierz jedynkowa,
    [
    I
    ]=
    [
    1 0 0 ...
    0 1 0 ...
    0 0 1 ...
    ... ... ... ...
    ]
    Układ równań jednorodnych (13.10) posiada rozwiązanie:
    •
    trywialne, gdy
    W
    r
    =0,
    •
    nietrywialne, wtedy gdy wyznacznik układu jest równy zero:
    det
    ∣
    [
    F
    ]⋅[
    M
    ]−
    1
    
    2
    [
    I
    ]
    ∣
    =
    0
    (13.11)
    Z warunku (13.11) otrzymujemy rĂłwnanie charakterystyczne, nazywane teĹź wiekowym. PrzyrĂłwnywanie
    wyznacznika układu równań do zera pozwala wyliczyć wartości
    ω
    r
    , częstości kołowe drgań własnych.
    Otrzymamy tyle wartości
    ω
    r
    , ile wynosił rząd macierzy. Każdej częstości kołowej drgań własnych odpowiada
    zestaw amplitud
    W
    r
    . Z układu równań jednorodnych nie można określić wartości amplitud, można ustalić
    tylko proporcje pomiędzy nimi.
    Obliczenia rozpoczyna się od przedstawienia konstrukcji w formie modelu masowego, dla którego określić
    trzeba niezależne przemieszczenia. Po obliczeniu współczynników
    δ
    ik
    z rĂłwnania (13.11) wyznaczamy
    wszystkie częstości kołowe drgań własnych
    ω
    .
    Granulacja masy jest znakomitym sposobem, wykorzystującym podstawowe założenia i podejście metody sił,
    czyli zasadę superpozycji, oraz współczynniki podatności
    δ
    ik
    .
    Algorytm obliczeń przybliżymy rozwiązując następujący przykład. Rozpatrzmy układ jak na poniższym
    schemacie.
    EJ=const
    m
    m
    m
    l
    6
    l
    3
    l
    3
    l
    6
    l
    Rys. 13.2. Schemat belki wolnopodpartej o dyskretnym, symetrycznym rozkładzie masy
    Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
    AlmaMater
     Część 2 13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY 4
    Taki układ ma trzy stopnie swobody dynamicznej, zatem posiada trzy częstości kołowe drgań własnych.
    Każda z mas może przemieszczać się prostopadle do osi belki. Wartości tych przemieszczeń, zgodnie ze
    wzorem (11.4) opisują zależności:
    w
    1
    
    t
    =−
    m
    ⋅
    ¨
    w
    1
    
    t
    ⋅
    11
    −
    m
    ⋅
    ¨
    w
    2
    
    t
    ⋅
    12
    −
    m
    ⋅
    ¨
    w
    3
    
    t
    ⋅
    13
    w
    2
    
    t
    =−
    m
    ⋅
    ¨
    w
    1
    
    t
    ⋅
    21
    −
    m
    ⋅
    ¨
    w
    2
    
    t
    ⋅
    22
    −
    m
    ⋅
    ¨
    w
    3
    
    t
    ⋅
    23
    w
    3
    
    t
    =−
    m
    ⋅
    ¨
    w
    1
    
    t
    ⋅
    31
    −
    m
    ⋅
    ¨
    w
    2
    
    t
    ⋅
    32
    −
    m
    ⋅
    ¨
    w
    3
    
    t
    ⋅
    33
    Równania różniczkowe możemy wyliczyć przyjmując postać funkcji rozwiązującej
    w
    r
    
    t
    =
    A
    r
    ⋅
    sin
    
    t
    dla ktĂłrej druga pochodna po czasie wynosi:
    ¨
    w
    r
    
    t
    =−
    2
    A
    r
    ⋅
    sin
    
    t
    Po podstawieniu i uproszczeniu (podzielenie przez
    sin ωt
    ) otrzymujemy rĂłwnania
    A
    1
    =
    m
    ⋅
    2
    ⋅
    11
    ⋅
    A
    1
    
    m
    ⋅
    2
    ⋅
    12
    ⋅
    A
    2
    
    m
    ⋅
    2
    ⋅
    13
    ⋅
    A
    3
    A
    2
    =
    m
    ⋅
    2
    ⋅
    21
    ⋅
    A
    1
    
    m
    ⋅
    2
    ⋅
    22
    ⋅
    A
    2
    
    m
    ⋅
    2
    ⋅
    23
    ⋅
    A
    3
    A
    3
    =
    m
    ⋅
    2
    ⋅
    31
    ⋅
    A
    1
    
    m
    ⋅
    2
    ⋅
    32
    ⋅
    A
    2
    
    m
    ⋅
    2
    ⋅
    33
    ⋅
    A
    3
    które po uporządkowaniu tworzą układ równań jednorodnych:
    
    m
    ⋅
    2
    ⋅
    11
    −
    1
    
    ⋅
    A
    1
    
    m
    ⋅
    2
    ⋅
    12
    ⋅
    A
    2
    
    m
    ⋅
    2
    ⋅
    13
    ⋅
    A
    3
    =
    0
    m
    ⋅
    2
    ⋅
    21
    ⋅
    A
    1
    
    
    m
    ⋅
    2
    ⋅
    22
    −
    1
    
    ⋅
    A
    2
    
    m
    ⋅
    2
    ⋅
    23
    ⋅
    A
    3
    =
    0
    m
    ⋅
    2
    ⋅
    31
    ⋅
    A
    1
    
    m
    ⋅
    2
    ⋅
    32
    ⋅
    A
    2
    
    
    m
    ⋅
    2
    ⋅
    33
    −
    1
    
    ⋅
    A
    3
    =
    0
    (13.12)
    Aby obliczyć współczynniki macierzy podatności
    δ
    ik
    , narysujmy wykresy momentĂłw w stanach jedynkowych:
    P
    1
    =1
    M
    1
    5
    l
    36
    l
    12
    l
    36
    l
    6
    l
    3
    l
    3
    l
    6
    Rys. 13.3. Stan P
    1
    = 1
    Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
    AlmaMater
    Część 2 13. DRGANIA UKŁADÓW DYSKRETNYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY 5
    P
    2
    =1
    M
    2
    l
    12
    l
    4
    l
    12
    l
    6
    l
    3
    l
    3
    l
    6
    Rys. 13.4. Stan P
    2
    = 1
    P
    3
    =1
    M
    3
    l
    36
    l
    12
    5
    l
    36
    l
    6
    l
    3
    l
    3
    l
    6
    Rys. 13.5. Stan P
    3
    = 1
    Współczynniki
    δ
    ik
    wyznaczamy mnożąc odpowiednie wykresy (rys. 13.3, 13.4, 13.5)
    EJ
    
    11
    =
    EJ
    
    33
    =
    1
    2
    ⋅
    l
    6
    ⋅
    5 l
    36
    ⋅
    2
    3
    ⋅
    5 l
    36
    
    1
    2
    ⋅
    5 l
    6
    ⋅
    5 l
    36
    ⋅
    2
    3
    ⋅
    5 l
    36
    =
    150
    ⋅
    l
    3
    23328
    =
    25
    ⋅
    l
    3
    3888
    EJ
    
    22
    =
    2
    ⋅
    1
    2
    ⋅
    l
    2
    ⋅
    l
    4
    ⋅
    2
    3
    ⋅
    l
    4
    =
    l
    3
    48
    =
    81
    ⋅
    l
    3
    3888
    EJ
    
    12
    =
    EJ
    
    21
    =
    EJ
    
    23
    =
    EJ
    
    32
    =
    1
    2
    ⋅
    l
    6
    ⋅
    5 l
    36
    ⋅
    2
    3
    ⋅
    l
    12
    
    1
    2
    ⋅
    l
    3
    ⋅
    5 l
    36
    
    3
    ⋅
    12
    
    3
    ⋅
    4
    
    
    2
    ⋅
    3
    ⋅
    12
    
    3
    ⋅
    4
    
    3
    ⋅
    12
    
    
    2
    ⋅
    l
    2
    ⋅
    l
    12
    ⋅
    2
    3
    ⋅
    l
    4
    =
    
    5
    7776
    
    25
    7776
    
    21
    7776
    
    27
    7776
    
    ⋅
    l
    3
    =
    39
    ⋅
    l
    3
    3888
    EJ
    
    13
    =
    EJ
    
    31
    =
    2
    ⋅
    1
    2
    ⋅
    l
    6
    ⋅
    5 l
    36
    ⋅
    2
    3
    ⋅
    l
    36
    
    1
    2
    ⋅
    2 l
    3
    ⋅
    5 l
    36
    
    3
    ⋅
    36
    
    3
    ⋅
    5 l
    36
    
    
    2
    ⋅
    2
    3
    ⋅
    36
    
    3
    ⋅
    5 l
    36
    
    1
    3
    ⋅
    l
    36
    
    =
    =
    
    10
    23328
    
    70
    23328
    
    22
    23328
    
    ⋅
    l
    3
    =
    17
    ⋅
    l
    3
    3888
    Jeżeli podstawimy do równań (13.12) otrzymane wartości, a następnie pomnóżmy obie strony równania przez
    3888
    EJ
    i podzielimy prze
    ml
    3
    ω
    2
    uzyskamy układ:
    [
    
    25
    −
    
    39 17
    39
    
    81
    −
    
    39
    17
    39
    
    25
    −
    
    ]
    ⋅
    [
    A
    1
    A
    2
    A
    3
    ]
    =
    {
    0
    }
    Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
    AlmaMater
    
    1
    [ Pobierz całość w formacie PDF ]
  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • hot-wife.htw.pl
    		•
    « S E A R C H »


    Cytat

    Dobry przykład - połowa kazania. Adalberg
    I ty, Brutusie, przeciwko mnie?! (Et tu, Brute, contra me?! ) Cezar (Caius Iulius Caesar, ok. 101 - 44 p. n. e)
    Do polowania na pchły i męża nie trzeba mieć karty myśliwskiej. Zygmunt Fijas
    W ciepłym klimacie najłatwiej wyrastają zimni dranie.
    Gdybym tylko wiedział, powinienem był zostać zegarmistrzem. - Albert Einstein (1879-1955) komentując swoją rolę w skonstruowaniu bomby atomowej
    « C O P Y R I G H T   I N F O »
    © 2003 Ktoś, kto mĂłwi, Ĺźe nie zna się na sztuce, Ĺşle zna samego siebie.. Design by Templates For All.