| « M E N U » |
»
|
| » Ktoś, kto mówi, że nie zna się na sztuce, źle zna samego siebie. | | » Allegri-Renzo---Cuda-ojca-Pio, KSIĄŻKI(,,audio,mobi,rtf,djvu), Nowy folder, [TORRENTCITY.PL] Allegri Renzo - Cuda ojca Pio [PL] [][] | | » Alistair MacLean - Athabaska, książki e, Alistair MacLean | | » Alchemy, Ksiazki, ALCHEMIA | | » Aldiss Brian W. - Na zewnątrz, KSIĄŻKI, E-book, Aldiss Brian | | » Altman John - Obserwatorzy, E Książki także, Altman, John | | » Alistair MacLean - Na poludnie od Jawy, książki e, Alistair MacLean | | » Alistair Maclean - Tabor do Vaccares, książki e, Alistair MacLean | | » Alex Kava - Zło konieczne, E Książki także, Alex Kava | | » Aldiss Brian W. - Nieobliczalna gwiazda, KSIĄŻKI, E-book, Aldiss Brian | | » Alex Kava - W ułamku sekundy, E Książki także, Alex Kava |
zanotowane.pldoc.pisz.plpdf.pisz.plefriends.pev.pl
|
|
|
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ
1
4.
4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ
4.1. Elementy trójkątne
Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów zastosowano
element trójkątny nazywany skrótem CST (Constant Strain Triangle). W elemencie tym wyróżnić możemy
trzy węzły (zobrazowane poprzez wierzchołki trójkąta), które mają po dwa translacyjne stopnie swobody.
Tak więc przemieszczenie dowolnego punktu elementu opisywać będziemy w układzie x0y za pomocą
dwóch składowych, które oznaczymy u i v. Kolejne przemieszczenia węzłowe oznaczymy przez d
1
do d
6
.
Odpowiadają one stopniom swobody oznaczonym na rysunku poniżej
d
6
k
d
5
v
ik
v
v
jk
d
1
y
i
u
d
2
v
ij
j
d
3
x
d
4
Rys. 4.1. Element trójwęzłowy
Wektor przemieszczeń d, który opisuje deformację elementu, składa się z następujących składowych
d
=[
d
1
,d
2
,d
3
,d
4
,d
5
,d
6
,
]
T
=[
u
1
,v
2
,u
3
,v
4
,u
5
,v
6
,
]
T
(4.1)
Możemy przyjąć funkcje, które będą opisywać wielkości przemieszczeń u i v w postaci liniowo
zależnej od x i y:
u
=
c
1
c
2
x
c
3
y
v
=
c
4
c
5
x
c
6
y
(4.2)
W postaci macierzowej założoną aproksymację zmian wektora przemieszczeń
u
=[
u,v
]
T
możemy
zapisać
u
=
gc
(4.3)
gdzie c jest wektorem stałych c
i
(na razie nieznanych), natomiast macierz geometryczna g ma postać
g
=
[
1 x y 0 0 0
0 0 0 1 x y
]
(4.4)
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
i
4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ
2
Jeśli podstawimy warunki brzegowe, to znaczy porównamy przemieszczenia u i v odpowiednio do
przemieszczeń węzłów w punktach i, j, k otrzymamy macierz h postaci:
[
g
i
g
j
g
k
]
=
[
1 x
i
y
i
0 0 0
0 0 0 1 x
i
y
i
1 x
j
y
j
0 0 0
0 0 0 1 x
j
y
j
1 x
k
y
k
0 0 0
0 0 0 1 x
k
y
k
]
(4.5)
która spełnia poniższe równanie macierzowe:
d
=
hc
(4.6)
Z równania tego wyznaczamy wartości stałych c
i
przez znalezienie macierzy odwrotnej
h
−1
:
h
−
1
=
1
2A
ijk
[
x
j
y
k
−
x
k
y
j
0 x
k
y
i
−
x
i
y
k
0 x
i
y
j
−
x
j
y
i
0
−
y
jk
0
−
y
kj
0
−
y
ij
0
x
jk
0 x
kj
0 x
ij
0
0 x
j
y
k
−
x
k
y
j
0 x
k
y
i
−
x
i
y
k
0 x
i
y
j
−
x
j
y
i
0
−
y
jk
0
−
y
ki
0
−
y
ij
0
]
(4.7)
x
jk
0
x
ki
0
x
ij
Wpływ jednostkowego przemieszczenia w węzłach na przemieszczenia wszystkich punktów na
obszarze elementu
x
ij
=
x
j
−
x
i
y
ki
=
y
i
−
y
k
(4.8)
Funkcja kształtu jest funkcją liniową.
2A
ijk
=∣
podwójne pole powierzchnitrójkąta
∣=
det
[
1 x
i
y
i
1 x
j
y
j
1 x
k
y
k
]
=
x
ij
y
ik
−
x
ik
y
ij
(4.9)
Macierz funkcji kształtu ma więc postać:
N
=
gh
−
1
=
[
N
1
0 N
2
0 N
3
0
0 N
1
0 N
2
0 N
3
]
(4.10)
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
h
=
4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ
3
gdzie odpowiednie funkcje wyrażają się następującymi wzorami
N
1
=
1
2A
ijk
x
j
y
k
−
x
k
y
j
−
y
jk
x
x
jk
y
(4.11)
N
2
=
1
2A
ijk
x
k
y
i
−
x
i
y
k
−
y
ki
x
x
ki
y
(4.12)
N
3
=
1
2A
ijk
x
i
y
j
−
x
j
y
i
−
y
ij
x
x
ij
y
(4.13)
Zależność pomiędzy przemieszczeniami węzłów
d
a odkształceniami elementu otrzymamy wykonując
działanie pokazane poniżej
[
∂
∂
x
0
]
N
=
1
[
]
(4.14)
−
y
jk
0 −
y
ki
0 −
y
ij
0
0
x
jk
0
x
ki
0
x
ij
x
jk
−
y
jk
x
ki
−
y
ki
x
ij
−
y
ij
B
=
LN
=
0
∂
∂
y
2
A
ijk
∂
∂
y
∂
∂
x
=
Bd
(4.15)
Jeśli założymy, że mamy do czynienia z materiałem izotropowym możemy macierz konstytutywną
zapisać
D
=
E
1
e
2
[
e
1
0
e
1
0
0 0 e
3
]
(4.16)
Gdzie przyjęte stałe
e
i
są równe:
➔
dla płaskiego stanu naprężenia
e
1
=
1
e
2
=1−
e
3
=
e
2
(4.17)
2
➔
dla płaskiego stanu odkształcenia
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ
4
e
1
=1−
e
2
=1−2
e
3
=
e
2
(4.18)
2
Macierz sztywności elementu CST
K
=
∫
V
B
T
DBdV
=
B
T
DBA
ijk
t
=
K
1
K
2
(4.19)
gdzie przez t oznaczono grubość elementu, zaś macierze K
1
i K
2
zawierają wyrazy wywodzące się
odpowiednio tylko z odkształceń normalnych i ścinających:
K
1
=
e
4
[
e
1
y
j
2
−
x
jk
y
jk
e
1
x
j
2
e
1
y
ki
y
jk
−
x
jk
y
ki
e
1
y
k
2
−
x
ki
y
jk
e
1
x
ki
x
jk
−
x
ki
y
ki
e
1
x
k
2
e
1
y
ij
y
jk
−
x
jk
y
ij
e
1
y
ij
y
ki
−
x
ki
y
ij
e
1
y
i
2
−
x
ij
y
jk
e
1
x
ij
x
jk
−
x
ij
y
ki
e
1
x
ij
x
ki
−
x
ij
y
ij
e
1
x
i
2
]
(4.20)
K
2
=
e
4
[
x
j
2
−
x
jk
y
jk
y
j
2
x
ki
x
jk
−
x
ki
y
jk
x
k
2
−
x
jk
y
ki
y
ki
y
jk
−
x
ki
y
ki
y
k
2
x
ij
x
jk
−
x
ij
y
jk
x
ij
x
ki
−
x
ij
y
ki
x
i
2
−
x
jk
y
ij
y
ij
y
jk
−
x
ki
y
ij
y
ij
y
ki
−
x
ij
y
ij
y
i
2
]
(4.21)
Powyższe macierze są macierzami symetrycznymi .
We wzorach na
K
1
i
K
2
wzorach przyjęto następujące oznaczenia
e
4
=
Et
4A
ijk
1
e
2
[
e
1
0
e
1
0
0 0 e
3
]
(4.22)
e
5
=
e
4
=
e
3
4.2. Element skończony trójkątny sześciowęzłowy
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ
5
Do analizy płaskich stanów naprężenia i odkształcenia możemy posłużyć się również
sześciowęzłowym elementem trójkątnym, który w literaturze jest w skrócie nazywany LST (Linear Strain
Triangle). Element ten przedstawia poniższy rysunek:
v
3
u
3
3
v
6
u
6
v
5
u
5
6
5
y
u
1
1
4
u
4
2
v
1
v
4
u
2
v
2
x
Rys. 4.2. Element sześciowęzłowy
Wektor przemieszczeń węzłowy możemy zapisać jako
d
=
[
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u
6
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
]
T
(4.23)
Wektor przemieszczenia dowolnego punktu elementu określony jest przy pomocy dwóch składowych:
u
=
[
uv
]
T
. Natomiast aproksymację każdej ze składowych przyjmuje się w postaci
u
=
c
1
c
2
x
c
3
y
c
4
x
2
c
5
xy
c
6
y
2
v
=
c
7
c
8
x
c
9
y
c
10
x
2
c
11
xy
c
12
y
2
(4.24)
Wektor odkształcenia możemy wyrazić jako funkcję przemieszczeń węzłów
=
[
x
y
xy
]
=
[
B
x
0
0 B
y
B
y
B
x
]
=
[
v
]
=
Bd
(4.25)
Poszczególne wektory można zapisać następująco
x
=
x1
x2
x3
]
y
=
[
y1
y2
y3
]
xy
=
[
xy1
xy2
xy3
]
(4.26)
Zastosowane macierze B
i
wyrazić można jako
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
[
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
zanotowane.pldoc.pisz.plpdf.pisz.plhot-wife.htw.pl
|
|
| Cytat |
Dobry przykład - połowa kazania. Adalberg
I ty, Brutusie, przeciwko mnie?! (Et tu, Brute, contra me?! ) Cezar (Caius Iulius Caesar, ok. 101 - 44 p. n. e)
Do polowania na pchły i męża nie trzeba mieć karty myśliwskiej. Zygmunt Fijas
W ciepłym klimacie najłatwiej wyrastają zimni dranie.
Gdybym tylko wiedział, powinienem był zostać zegarmistrzem. - Albert Einstein (1879-1955) komentując swoją rolę w skonstruowaniu bomby atomowej
|
|
