ďťż  
logo.png
ban.jpg
Monday, April 7th, 2025 
  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • efriends.pev.pl
    • « M E N U »

    »

    » Ktoś, kto mĂłwi, Ĺźe nie zna się na sztuce, Ĺşle zna samego siebie.
    » Allegri-Renzo---Cuda-ojca-Pio, KSIĄŻKI(,,audio,mobi,rtf,djvu), Nowy folder, [TORRENTCITY.PL] Allegri Renzo - Cuda ojca Pio [PL] [][]
    » Alistair MacLean - Athabaska, książki e, Alistair MacLean
    » Alchemy, Ksiazki, ALCHEMIA
    » Aldiss Brian W. - Na zewnątrz, KSIĄŻKI, E-book, Aldiss Brian
    » Altman John - Obserwatorzy, E Książki takĹźe, Altman, John
    » Alistair MacLean - Na poludnie od Jawy, książki e, Alistair MacLean
    » Alistair Maclean - Tabor do Vaccares, książki e, Alistair MacLean
    » Alex Kava - Zło konieczne, E Książki takĹźe, Alex Kava
    » Aldiss Brian W. - Nieobliczalna gwiazda, KSIĄŻKI, E-book, Aldiss Brian
    » Alex Kava - W ułamku sekundy, E Książki takĹźe, Alex Kava
    [ Pobierz całość w formacie PDF ]
    4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŝEŃ I ODKSZTAŁCEŃ
    1
    4.
    
    4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŝEŃ I ODKSZTAŁCEŃ
    4.1. Elementy trójkątne
    Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementĂłw zastosowano
    element trójkątny nazywany skrótem CST (Constant Strain Triangle). W elemencie tym wyróżnić możemy
    trzy węzły (zobrazowane poprzez wierzchołki trójkąta), które mają po dwa translacyjne stopnie swobody.
    Tak więc przemieszczenie dowolnego punktu elementu opisywać będziemy w układzie x0y za pomocą
    dwóch składowych, które oznaczymy u i v. Kolejne przemieszczenia węzłowe oznaczymy przez d
    1
    do d
    6
    .
    Odpowiadają one stopniom swobody oznaczonym na rysunku poniżej
    d
    6
    k
    d
    5
    v
    ik
    v
    v
    jk
    d
    1
    y
    i
    u
    d
    2
    v
    ij
    j
    d
    3
    x
    d
    4
    Rys. 4.1. Element trójwęzłowy
    Wektor przemieszczeń d, który opisuje deformację elementu, składa się z następujących składowych
    d
    =[
    d
    1
    ,d
    2
    ,d
    3
    ,d
    4
    ,d
    5
    ,d
    6
    ,
    ]
    T
    =[
    u
    1
    ,v
    2
    ,u
    3
    ,v
    4
    ,u
    5
    ,v
    6
    ,
    ]
    T
    (4.1)
    Możemy przyjąć funkcje, które będą opisywać wielkości przemieszczeń u i v w postaci liniowo
    zaleĹźnej od x i y:
    u
    =
    c
    1
    
    c
    2
    x
    
    c
    3
    y
    v
    =
    c
    4
    
    c
    5
    x
    
    c
    6
    y
    (4.2)
    W postaci macierzowej założoną aproksymację zmian wektora przemieszczeń
    u
    =[
    u,v
    ]
    T
    moĹźemy
    zapisać
    u
    =
    gc
    (4.3)
    gdzie c jest wektorem stałych c
    i
    (na razie nieznanych), natomiast macierz geometryczna g ma postać
    g
    =
    [
    1 x y 0 0 0
    0 0 0 1 x y
    ]
    (4.4)
    J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
    AlmaMater
    i
    4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŝEŃ I ODKSZTAŁCEŃ
    2
    Jeśli podstawimy warunki brzegowe, to znaczy porównamy przemieszczenia u i v odpowiednio do
    przemieszczeń węzłów w punktach i, j, k otrzymamy macierz h postaci:
    [
    g
    i
    g
    j
    g
    k
    ]
    =
    [
    1 x
    i
    y
    i
    0 0 0
    0 0 0 1 x
    i
    y
    i
    1 x
    j
    y
    j
    0 0 0
    0 0 0 1 x
    j
    y
    j
    1 x
    k
    y
    k
    0 0 0
    0 0 0 1 x
    k
    y
    k
    ]
    (4.5)
    która spełnia poniższe równanie macierzowe:
    d
    =
    hc
    (4.6)
    Z równania tego wyznaczamy wartości stałych c
    i
    przez znalezienie macierzy odwrotnej
    h
    −1
    :
    h
    −
    1
    =
    1
    2A
    ijk
    [
    x
    j
    y
    k
    −
    x
    k
    y
    j
    0 x
    k
    y
    i
    −
    x
    i
    y
    k
    0 x
    i
    y
    j
    −
    x
    j
    y
    i
    0
    −
    y
    jk
    0
    −
    y
    kj
    0
    −
    y
    ij
    0
    x
    jk
    0 x
    kj
    0 x
    ij
    0
    0 x
    j
    y
    k
    −
    x
    k
    y
    j
    0 x
    k
    y
    i
    −
    x
    i
    y
    k
    0 x
    i
    y
    j
    −
    x
    j
    y
    i
    0
    −
    y
    jk
    0
    −
    y
    ki
    0
    −
    y
    ij
    0
    ]
    (4.7)
    x
    jk
    0
    x
    ki
    0
    x
    ij
    Wpływ jednostkowego przemieszczenia w węzłach na przemieszczenia wszystkich punktów na
    obszarze elementu
    x
    ij
    =
    x
    j
    −
    x
    i
    y
    ki
    =
    y
    i
    −
    y
    k
    (4.8)
    Funkcja kształtu jest funkcją liniową.
    2A
    ijk
    =∣
    podwójne pole powierzchnitrójkąta
    ∣=
    det
    [
    1 x
    i
    y
    i
    1 x
    j
    y
    j
    1 x
    k
    y
    k
    ]
    =
    x
    ij
    y
    ik
    −
    x
    ik
    y
    ij
    (4.9)
    Macierz funkcji kształtu ma więc postać:
    N
    =
    gh
    −
    1
    =
    [
    N
    1
    0 N
    2
    0 N
    3
    0
    0 N
    1
    0 N
    2
    0 N
    3
    ]
    (4.10)
    J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
    AlmaMater
    h
    =
    4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŝEŃ I ODKSZTAŁCEŃ
    3
    gdzie odpowiednie funkcje wyrażają się następującymi wzorami
    N
    1
    =
    1
    2A
    ijk
    
    x
    j
    y
    k
    −
    x
    k
    y
    j
    −
    y
    jk
    x
    
    x
    jk
    y
    
    (4.11)
    N
    2
    =
    1
    2A
    ijk
    
    x
    k
    y
    i
    −
    x
    i
    y
    k
    −
    y
    ki
    x
    
    x
    ki
    y
    
    (4.12)
    N
    3
    =
    1
    2A
    ijk
    
    x
    i
    y
    j
    −
    x
    j
    y
    i
    −
    y
    ij
    x
    
    x
    ij
    y
    
    (4.13)
    Zależność pomiędzy przemieszczeniami węzłów
    d
    a odkształceniami elementu otrzymamy wykonując
    działanie pokazane poniżej
    [
    ∂
    ∂
    x
    0
    ]
    N
    =
    1
    [
    ]
    (4.14)
    −
    y
    jk
    0 −
    y
    ki
    0 −
    y
    ij
    0
    0
    x
    jk
    0
    x
    ki
    0
    x
    ij
    x
    jk
    −
    y
    jk
    x
    ki
    −
    y
    ki
    x
    ij
    −
    y
    ij
    B
    =
    LN
    =
    0
    ∂
    ∂
    y
    2
    A
    ijk
    ∂
    ∂
    y
    ∂
    ∂
    x
    =
    Bd
    (4.15)
    Jeśli założymy, że mamy do czynienia z materiałem izotropowym możemy macierz konstytutywną
    zapisać
    D
    =
    E
    
    1
    
    e
    2
    [
    e
    1
    
    0
    
    e
    1
    0
    0 0 e
    3
    ]
    (4.16)
    Gdzie przyjęte stałe
    e
    i
    są równe:
    ➔
    dla płaskiego stanu naprężenia
    e
    1
    =
    1
    e
    2
    =1−
    e
    3
    =
    e
    2
    (4.17)
    2
    ➔
    dla płaskiego stanu odkształcenia
    J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
    AlmaMater
     4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŝEŃ I ODKSZTAŁCEŃ
    4
    e
    1
    =1−
    e
    2
    =1−2
    e
    3
    =
    e
    2
    (4.18)
    2
    Macierz sztywności elementu CST
    K
    =
    ∍
    V
    B
    T
    DBdV
    =
    B
    T
    DBA
    ijk
    t
    =
    K
    1
    
    K
    2
    (4.19)
    gdzie przez t oznaczono grubość elementu, zaś macierze K
    1
    i K
    2
    zawierają wyrazy wywodzące się
    odpowiednio tylko z odkształceń normalnych i ścinających:
    K
    1
    =
    e
    4
    [
    e
    1
    y
    j
    2
        
    −
    x
    jk
    y
    jk
    e
    1
    x
    j
    2
       
    e
    1
    y
    ki
    y
    jk
    −
    x
    jk
    y
    ki
    e
    1
    y
    k
    2
      
    −
    x
    ki
    y
    jk
    e
    1
    x
    ki
    x
    jk
    −
    x
    ki
    y
    ki
    e
    1
    x
    k
    2
     
    e
    1
    y
    ij
    y
    jk
    −
    x
    jk
    y
    ij
    e
    1
    y
    ij
    y
    ki
    −
    x
    ki
    y
    ij
    e
    1
    y
    i
    2
    
    −
    x
    ij
    y
    jk
    e
    1
    x
    ij
    x
    jk
    −
    x
    ij
    y
    ki
    e
    1
    x
    ij
    x
    ki
    −
    x
    ij
    y
    ij
    e
    1
    x
    i
    2
    ]
    (4.20)
    K
    2
    =
    e
    4
    [
    x
    j
    2
       
    −
    x
    jk
    y
    jk
    y
    j
    2
      
    x
    ki
    x
    jk
    −
    x
    ki
    y
    jk
    x
    k
    2
     
    −
    x
    jk
    y
    ki
    y
    ki
    y
    jk
    −
    x
    ki
    y
    ki
    y
    k
    2
    
    x
    ij
    x
    jk
    −
    x
    ij
    y
    jk
    x
    ij
    x
    ki
    −
    x
    ij
    y
    ki
    x
    i
    2
    
    −
    x
    jk
    y
    ij
    y
    ij
    y
    jk
    −
    x
    ki
    y
    ij
    y
    ij
    y
    ki
    −
    x
    ij
    y
    ij
    y
    i
    2
    ]
    (4.21)
    Powyższe macierze są macierzami symetrycznymi .
    We wzorach na
    K
    1
    i
    K
    2
    wzorach przyjęto następujące oznaczenia
    e
    4
    =
    Et
    4A
    ijk
    
    1
    
    e
    2
    [
    e
    1
    
    0
    
    e
    1
    0
    0 0 e
    3
    ]
    (4.22)
    e
    5
    =
    e
    4
    =
    e
    3
    4.2. Element skończony trójkątny sześciowęzłowy
    J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
    AlmaMater
    4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŝEŃ I ODKSZTAŁCEŃ
    5
    Do analizy płaskich stanów naprężenia i odkształcenia możemy posłużyć się również
    sześciowęzłowym elementem trójkątnym, który w literaturze jest w skrócie nazywany LST (Linear Strain
    Triangle). Element ten przedstawia poniĹźszy rysunek:
    v
    3
    u
    3
    3
    v
    6
    u
    6
    v
    5
    u
    5
    6
    5
    y
    u
    1
    1
    4
    u
    4
    2
    v
    1
    v
    4
    u
    2
    v
    2
    x
    Rys. 4.2. Element sześciowęzłowy
    Wektor przemieszczeń węzłowy możemy zapisać jako
    d
    =
    [
    u
    1
    u
    2
    u
    3
    u
    4
    u
    5
    u
    6
    v
    1
    v
    2
    v
    3
    v
    4
    v
    5
    v
    6
    ]
    T
    (4.23)
    Wektor przemieszczenia dowolnego punktu elementu określony jest przy pomocy dwóch składowych:
    u
    =
    [
    uv
    ]
    T
    . Natomiast aproksymację każdej ze składowych przyjmuje się w postaci
    u
    =
    c
    1
    
    c
    2
    x
    
    c
    3
    y
    
    c
    4
    x
    2
    
    c
    5
    xy
    
    c
    6
    y
    2
    v
    =
    c
    7
    
    c
    8
    x
    
    c
    9
    y
    
    c
    10
    x
    2
    
    c
    11
    xy
    
    c
    12
    y
    2
    (4.24)
    Wektor odkształcenia możemy wyrazić jako funkcję przemieszczeń węzłów
    =
    [
    
    x
    
    y
    
    xy
    ]
    =
    [
    B
    x
    0
    0 B
    y
    B
    y
    B
    x
    ]
    =
    [
    v
    ]
    =
    Bd
    (4.25)
    Poszczególne wektory można zapisać następująco
    
    x
    =
    
    x1
    
    x2
    
    x3
    ]
    
    y
    =
    [
    
    y1
    
    y2
    
    y3
    ]
    
    xy
    =
    [
    
    xy1
    
    xy2
    
    xy3
    ]
    (4.26)
    Zastosowane macierze B
    i
    wyrazić można jako
    J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
    AlmaMater
    [
    [ Pobierz całość w formacie PDF ]
  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • hot-wife.htw.pl
    		•
    « S E A R C H »


    Cytat

    Dobry przykład - połowa kazania. Adalberg
    I ty, Brutusie, przeciwko mnie?! (Et tu, Brute, contra me?! ) Cezar (Caius Iulius Caesar, ok. 101 - 44 p. n. e)
    Do polowania na pchły i męża nie trzeba mieć karty myśliwskiej. Zygmunt Fijas
    W ciepłym klimacie najłatwiej wyrastają zimni dranie.
    Gdybym tylko wiedział, powinienem był zostać zegarmistrzem. - Albert Einstein (1879-1955) komentując swoją rolę w skonstruowaniu bomby atomowej
    « C O P Y R I G H T   I N F O »
    © 2003 Ktoś, kto mĂłwi, Ĺźe nie zna się na sztuce, Ĺşle zna samego siebie.. Design by Templates For All.