zanotowane.pldoc.pisz.plpdf.pisz.plefriends.pev.pl
« M E N U » |
»
|
» KtoĹ, kto mĂłwi, Ĺźe nie zna siÄ na sztuce, Ĺşle zna samego siebie. | » Allegri-Renzo---Cuda-ojca-Pio, KSIÄĹťKI(,,audio,mobi,rtf,djvu), Nowy folder, [TORRENTCITY.PL] Allegri Renzo - Cuda ojca Pio [PL] [][] | » Alistair MacLean - Athabaska, ksiÄ
Ĺźki e, Alistair MacLean | » Alchemy, Ksiazki, ALCHEMIA | » Aldiss Brian W. - Na zewnÄ
trz, KSIÄĹťKI, E-book, Aldiss Brian | » Altman John - Obserwatorzy, E KsiÄ
Ĺźki takĹźe, Altman, John | » Alistair MacLean - Na poludnie od Jawy, ksiÄ
Ĺźki e, Alistair MacLean | » Alistair Maclean - Tabor do Vaccares, ksiÄ
Ĺźki e, Alistair MacLean | » Alex Kava - ZĹo konieczne, E KsiÄ
Ĺźki takĹźe, Alex Kava | » Aldiss Brian W. - Nieobliczalna gwiazda, KSIÄĹťKI, E-book, Aldiss Brian | » Alex Kava - W uĹamku sekundy, E KsiÄ
Ĺźki takĹźe, Alex Kava |
|
|
[ Pobierz caĹoĹÄ w formacie PDF ] 4. ELEMENTY PĹASKIEGO STANU NAPRÄĹťEĹ I ODKSZTAĹCEĹ 1 4. ď§ďŠď¨ 4. ELEMENTY PĹASKIEGO STANU NAPRÄĹťEĹ I ODKSZTAĹCEĹ 4.1. Elementy trĂłjkÄ
tne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementĂłw zastosowano element trĂłjkÄ
tny nazywany skrĂłtem CST (Constant Strain Triangle). W elemencie tym wyróşniÄ moĹźemy trzy wÄzĹy (zobrazowane poprzez wierzchoĹki trĂłjkÄ
ta), ktĂłre majÄ
po dwa translacyjne stopnie swobody. Tak wiÄc przemieszczenie dowolnego punktu elementu opisywaÄ bÄdziemy w ukĹadzie x0y za pomocÄ
dwĂłch skĹadowych, ktĂłre oznaczymy u i v. Kolejne przemieszczenia wÄzĹowe oznaczymy przez d 1 do d 6 . OdpowiadajÄ
one stopniom swobody oznaczonym na rysunku poniĹźej d 6 k d 5 v ik v v jk d 1 y i u d 2 v ij j d 3 x d 4 Rys. 4.1. Element trĂłjwÄzĹowy Wektor przemieszczeĹ d, ktĂłry opisuje deformacjÄ elementu, skĹada siÄ z nastÄpujÄ
cych skĹadowych d =[ d 1 ,d 2 ,d 3 ,d 4 ,d 5 ,d 6 , ] T =[ u 1 ,v 2 ,u 3 ,v 4 ,u 5 ,v 6 , ] T (4.1) MoĹźemy przyjÄ
Ä funkcje, ktĂłre bÄdÄ
opisywaÄ wielkoĹci przemieszczeĹ u i v w postaci liniowo zaleĹźnej od x i y: u = c 1 î c 2 x î c 3 y v = c 4 î c 5 x î c 6 y (4.2) W postaci macierzowej zaĹoĹźonÄ
aproksymacjÄ zmian wektora przemieszczeĹ u =[ u,v ] T moĹźemy zapisaÄ u = gc (4.3) gdzie c jest wektorem staĹych c i (na razie nieznanych), natomiast macierz geometryczna g ma postaÄ g = [ 1 x y 0 0 0 0 0 0 1 x y ] (4.4) J.Gieczewski, M.KoĹczal, A.KrzysztoĹ, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater i 4. ELEMENTY PĹASKIEGO STANU NAPRÄĹťEĹ I ODKSZTAĹCEĹ 2 JeĹli podstawimy warunki brzegowe, to znaczy porĂłwnamy przemieszczenia u i v odpowiednio do przemieszczeĹ wÄzĹĂłw w punktach i, j, k otrzymamy macierz h postaci: [ g i g j g k ] = [ 1 x i y i 0 0 0 0 0 0 1 x i y i 1 x j y j 0 0 0 0 0 0 1 x j y j 1 x k y k 0 0 0 0 0 0 1 x k y k ] (4.5) ktĂłra speĹnia poniĹźsze rĂłwnanie macierzowe: d = hc (4.6) Z rĂłwnania tego wyznaczamy wartoĹci staĹych c i przez znalezienie macierzy odwrotnej h â1 : h â 1 = 1 2A ijk [ x j y k â x k y j 0 x k y i â x i y k 0 x i y j â x j y i 0 â y jk 0 â y kj 0 â y ij 0 x jk 0 x kj 0 x ij 0 0 x j y k â x k y j 0 x k y i â x i y k 0 x i y j â x j y i 0 â y jk 0 â y ki 0 â y ij 0 ] (4.7) x jk 0 x ki 0 x ij WpĹyw jednostkowego przemieszczenia w wÄzĹach na przemieszczenia wszystkich punktĂłw na obszarze elementu x ij = x j â x i y ki = y i â y k (4.8) Funkcja ksztaĹtu jest funkcjÄ
liniowÄ
. 2A ijk =⣠podwĂłjne pole powierzchnitrĂłjkÄ
ta âŁ= det [ 1 x i y i 1 x j y j 1 x k y k ] = x ij y ik â x ik y ij (4.9) Macierz funkcji ksztaĹtu ma wiÄc postaÄ: N = gh â 1 = [ N 1 0 N 2 0 N 3 0 0 N 1 0 N 2 0 N 3 ] (4.10) J.Gieczewski, M.KoĹczal, A.KrzysztoĹ, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater h = 4. ELEMENTY PĹASKIEGO STANU NAPRÄĹťEĹ I ODKSZTAĹCEĹ 3 gdzie odpowiednie funkcje wyraĹźajÄ
siÄ nastÄpujÄ
cymi wzorami N 1 = 1 2A ijk î x j y k â x k y j â y jk x î x jk y î (4.11) N 2 = 1 2A ijk î x k y i â x i y k â y ki x î x ki y î (4.12) N 3 = 1 2A ijk î x i y j â x j y i â y ij x î x ij y î (4.13) ZaleĹźnoĹÄ pomiÄdzy przemieszczeniami wÄzĹĂłw d a odksztaĹceniami elementu otrzymamy wykonujÄ
c dziaĹanie pokazane poniĹźej [ â â x 0 ] N = 1 [ ] (4.14) â y jk 0 â y ki 0 â y ij 0 0 x jk 0 x ki 0 x ij x jk â y jk x ki â y ki x ij â y ij B = LN = 0 â â y 2 A ijk â â y â â x î= Bd (4.15) JeĹli zaĹoĹźymy, Ĺźe mamy do czynienia z materiaĹem izotropowym moĹźemy macierz konstytutywnÄ
zapisaÄ D = E î 1 îîî e 2 [ e 1 î 0 î e 1 0 0 0 e 3 ] (4.16) Gdzie przyjÄte staĹe e i sÄ
rĂłwne: â dla pĹaskiego stanu naprÄĹźenia e 1 = 1 e 2 =1âî e 3 = e 2 (4.17) 2 â dla pĹaskiego stanu odksztaĹcenia J.Gieczewski, M.KoĹczal, A.KrzysztoĹ, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater  4. ELEMENTY PĹASKIEGO STANU NAPRÄĹťEĹ I ODKSZTAĹCEĹ 4 e 1 =1âî e 2 =1â2î e 3 = e 2 (4.18) 2 Macierz sztywnoĹci elementu CST K = ⍠V B T DBdV = B T DBA ijk t = K 1 î K 2 (4.19) gdzie przez t oznaczono gruboĹÄ elementu, zaĹ macierze K 1 i K 2 zawierajÄ
wyrazy wywodzÄ
ce siÄ odpowiednio tylko z odksztaĹceĹ normalnych i ĹcinajÄ
cych: K 1 = e 4 [ e 1 y j 2 î î î î î âî x jk y jk e 1 x j 2 î î î î e 1 y ki y jk âî x jk y ki e 1 y k 2 î î î âî x ki y jk e 1 x ki x jk âî x ki y ki e 1 x k 2 î î e 1 y ij y jk âî x jk y ij e 1 y ij y ki âî x ki y ij e 1 y i 2 î âî x ij y jk e 1 x ij x jk âî x ij y ki e 1 x ij x ki âî x ij y ij e 1 x i 2 ] (4.20) K 2 = e 4 [ x j 2 î î î îî â x jk y jk y j 2 î î îî x ki x jk â x ki y jk x k 2 î îî â x jk y ki y ki y jk â x ki y ki y k 2 îî x ij x jk â x ij y jk x ij x ki â x ij y ki x i 2 î â x jk y ij y ij y jk â x ki y ij y ij y ki â x ij y ij y i 2 ] (4.21) PowyĹźsze macierze sÄ
macierzami symetrycznymi . We wzorach na K 1 i K 2 wzorach przyjÄto nastÄpujÄ
ce oznaczenia e 4 = Et 4A ijk î 1 îîî e 2 [ e 1 î 0 î e 1 0 0 0 e 3 ] (4.22) e 5 = e 4 = e 3 4.2. Element skoĹczony trĂłjkÄ
tny szeĹciowÄzĹowy J.Gieczewski, M.KoĹczal, A.KrzysztoĹ, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater 4. ELEMENTY PĹASKIEGO STANU NAPRÄĹťEĹ I ODKSZTAĹCEĹ 5 Do analizy pĹaskich stanĂłw naprÄĹźenia i odksztaĹcenia moĹźemy posĹuĹźyÄ siÄ rĂłwnieĹź szeĹciowÄzĹowym elementem trĂłjkÄ
tnym, ktĂłry w literaturze jest w skrĂłcie nazywany LST (Linear Strain Triangle). Element ten przedstawia poniĹźszy rysunek: v 3 u 3 3 v 6 u 6 v 5 u 5 6 5 y u 1 1 4 u 4 2 v 1 v 4 u 2 v 2 x Rys. 4.2. Element szeĹciowÄzĹowy Wektor przemieszczeĹ wÄzĹowy moĹźemy zapisaÄ jako d = [ u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 ] T (4.23) Wektor przemieszczenia dowolnego punktu elementu okreĹlony jest przy pomocy dwĂłch skĹadowych: u = [ uv ] T . Natomiast aproksymacjÄ kaĹźdej ze skĹadowych przyjmuje siÄ w postaci u = c 1 î c 2 x î c 3 y î c 4 x 2 î c 5 xy î c 6 y 2 v = c 7 î c 8 x î c 9 y î c 10 x 2 î c 11 xy î c 12 y 2 (4.24) Wektor odksztaĹcenia moĹźemy wyraziÄ jako funkcjÄ przemieszczeĹ wÄzĹĂłw î= [ î x î y îš xy ] = [ B x 0 0 B y B y B x ] = [ v ] = Bd (4.25) PoszczegĂłlne wektory moĹźna zapisaÄ nastÄpujÄ
co î x = î x1 î x2 î x3 ] î y = [ î y1 î y2 î y3 ] îš xy = [ îš xy1 îš xy2 îš xy3 ] (4.26) Zastosowane macierze B i wyraziÄ moĹźna jako J.Gieczewski, M.KoĹczal, A.KrzysztoĹ, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater [
[ Pobierz caĹoĹÄ w formacie PDF ] zanotowane.pldoc.pisz.plpdf.pisz.plhot-wife.htw.pl
|
|
Cytat |
Dobry przykĹad - poĹowa kazania. Adalberg I ty, Brutusie, przeciwko mnie?! (Et tu, Brute, contra me?! ) Cezar (Caius Iulius Caesar, ok. 101 - 44 p. n. e) Do polowania na pchĹy i mÄĹźa nie trzeba mieÄ karty myĹliwskiej. Zygmunt Fijas W ciepĹym klimacie najĹatwiej wyrastajÄ
zimni dranie. Gdybym tylko wiedziaĹ, powinienem byĹ zostaÄ zegarmistrzem. - Albert Einstein (1879-1955) komentujÄ
c swojÄ
rolÄ w skonstruowaniu bomby atomowej
|
|